geniusになりまひょ

第3問
(1)
第4群は10個の項から成るので、a4=22
an-a_(n-1)=3n-2[n≧2]が成立
an=1+4+…+(3n+2)
=Σ[k=1,n](3k-2)
=3{n(n+1)/2}-2n
=(3/2)n^2-(1/2)n
600が第何群の第何項か…
600<(3/2)n^2-(1/2)nを解いて、n=21
つまり、20項に入る
20群の初項は590なので、600は10項目
(2)
第(n+1)群の2n項目は
bn=an+2n
=(3/2)n^2-(1/2)n+2n
=(3/2)(n^2+n)
したがって
1/bn=(2/3)[(1/n)-{1/(n+1)}]
Σ[k=1,n]1/bk=(2/3)[1-{1/(n+1)}]=…=2n/(2n+3)

第4問
まず、11個から5個の玉の取り出し方は11C5=462通り
(1)
(ア)得点0
(i)黒ありのとき
残りの4つに対して、どの数字の玉を選ぶかで5通り
それに対して、赤か白かを選べるので
5．2^4=80通り
(ii)黒なし
それぞれの数字に対して赤か白かなので
2^5=32通り
(イ)得点1
(i)黒ありのとき
残りの4つに対して、どの数字でペアにするかで5通り
残り2つは上と同様にして求めると24通り
5．24=120通り
(ii)黒なし
どの数字でペアにするかで5通り
残り2つは上と同様にして求めると32通り
5．32=160通り
(ウ)得点2
462-(112+280)=70通り
(2)期待値
0×何か+{1×(280/462)}+{2×(70/462)}=…=10/11

なんかミスってる…

第4問
まず、11個から5個の玉の取り出し方は11C5=462通り
(1)
(ア)得点0
(i)黒ありのとき
残りの4つに対して、どの数字の玉を選ぶかで5通り
それに対して、赤か白かを選べるので
5･2^4=80通り
(ii)黒なし
それぞれの数字に対して赤か白かなので
2^5=32通り
(イ)得点1
(i)黒ありのとき
残りの4つに対して、どの数字でペアにするかで5通り
残り2つは上と同様にして求めると24通り
5･24=120通り
(ii)黒なし
どの数字でペアにするかで5通り
残り2つは上と同様にして求めると32通り
5･32=160通り
(ウ)得点2
462-(112+280)=70通り
(2)期待値
0×何か+{1×(280/462)}+{2×(70/462)}=10/11

第4問
ベクトルは↑で書く
(1)
∠BAD=∠BAR=π/2より、p↑･q↑=p↑･r↑=0
∠DAE=π/3より、q↑･r↑=1/2
問題文通り表すと
AX↑=ap↑
BY↑=bAE↑より、AY↑=p↑+br↑
したがって、XY↑=(1-a)p↑+br↑
XZ平行AHより、XZ↑=q↑+r↑,EC↑=p↑+q↑-r↑
ゆえに、EC↑･XZ↑=…=0
(2)
ECが平面αに垂直に交わるので
EC↑･XY↑=0が成り立つ
EC↑･XY↑=(p↑+q↑-r↑){(1-a)p↑+br↑}=0
これを解くと
(1-a)-b/2=0⇔2a+b=2
b=1/2のとき、a=3/4である
つまり、AX=(3/4)p↑,XY=(1/4)p↑+(1/2)r↑,XZ=q↑+r↑,AE↑=r↑,EC↑=(p↑+q↑-r↑)
AK↑=AE↑+cEC↑より
AK↑=r↑+(p↑+q↑-r↑)
=cp↑+cq↑+(1-c)r↑
また、AK↑=AX↑+sXY↑+tXZ↑より
AK↑=(3/4)p↑+s[(1/4)p↑+(1/2)r↑]+t[q↑+r↑]
=[(1/4)s+(3/4)]↑+tq↑+[(1/2)s+t]r↑
係数比較して、c=5/8を得る
EC=√2なので、|EK↑|=(5/8)|EC↑|=5√2/8

第2問
f(x)=-x^3+9x^2+kxとしときます
(1)
f'(x)=-3x^2+18x+k
つまり、点Q(t,-t^3+9t^2+kt)における接線は
y=(-3t^2+18t+k)(x-t)-t^3+9t^2+kt
これが、(1,0)を通るので
0=(-3t^2+18t+k)-t(-3t^2+18t+k)-t^3+9t^2+kt
0=2t^3-12t^2+18t+k
k=-2t^3+12t^2-18t(=p(t))
p(t)=-2t^3+12t^2-18tと極値求めるのか
p'(t)=-6t^2+24t-18
=-6(t-1)(t-3)
p'(t)=0となるのは、t=1,3
したがって、t=1で極小値-8,t=3で極大値0
ゆえに、点Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのはk=0or-8のときである
また、点Pを通る曲線Cの接線の本数はk=5のとき1本、k=-2のとき3本、k=-12のとき1本となる
(2)
f(x)=-x^3+9x^2
g(x)=-x^3+6x^2+7x
とします
f,gの交点を求める
-x^3+9x^2=-x^3+6x^2+7x
3x^2-7x=0
x(3x-7)=0
∴x=0,7/3
面積求める
f(x)≧g(x)[-1≦x≦0]
g(x)≧f(x)[0≦x≦2]
ですので
S=∫[-1,0](3x^2-7x)dx+∫[0,2](7x-3x^2)dx=…=21/2