y=x^3と直線の接点(t,t^3)として直線の式はy=3t^2x-2t^3
x^2+x+c=3t^2x-2t^3が重解をもつので判別式
9t^4-8t^3-6t^2+1-4c=0
f(t)=9t^4-8t^3-6t^2+1-4cとおくと
f'(t)=12t(3t+1)(t-1)
f(t)はt=-1/3,1で極大、t=0で極小
f(-1/3)=20/27-4c
f(0)=1-4c
f(1)=-4-4c
よってf(t)=0が4つの異なる実数解もつ条件は
20/27-4c<0<1-4c
つまり5/27<c<1/4