数3の教科書にはlim[x→0](e^x-1)/x=1はそのまんま公式として出てるね
これを既知としてはいけないなら、
e^x-1=tとおくと、x→0のときy→0だから、
lim[t→0]t/log(1+t)
=lim[t→0]1/{log(1+t)/t}
=lim[t→0]1/[log{(1+t)^(1/t)}]
で、さらに1/t→sとおくと、t→0のときs→∞だから、
lim[s→∞]1/{log(1+1/s)^s}
=1/log(e)
=1
かなぁ
高校数学ではこれが限界かもしれない