二項定理は公式あてはめれば一発


もっと一般的なマクローリン展開覚えとけばいいと思うよ
マクローリン展開、テイラー展開はググって

f(x)のx^nの係数=(dnf/dxn)(0)/n!
(dnf/dxn)(0):fのn次導関数にx=0をいれた値


つまり、今回はn=3。
fの三回微分(x=0)は
6*5*4*2^3*(2*0+5)^3
これを3!で割ると5*4*2^3*5^3=20000

二項定理より
(2x+5)^6=Σ[r=0からr=6](2x)^(6-r)*5^r
となるのはわかるよね？
r=3(6-r=3より)のときにx^3の項がでてくるから求める値は
6C3*2^(6-3)*5^3