ちょいと模試作ってみた

暇だから、模試らしきもの作ってみました。
レベルは進研模試ぐらいのレベル。
ⅠAⅡBまでなので高2の方も解けます。
解く方が何人かいれば近々また作りたいと思います。
作るとしたら、数学、物理、化学のいずれかになります。

時間は60分(⑤も解く方は80分)
①
(1)2桁の整数のうち、約数がちょうど10個あるものをすべて答えよ
(2)(1)で求めた整数の全てにおいて10個の約数の和を求めよ
②
2つの整式f(x),g(x)に対して、xf'(x)=g(x)-∫[0→2] f(x)dx,g(x)=2x^2-x+3∫[-1→0] f(x)dxが成立するときf(x)を求めよ。
③実数xに対して、l≦x<l+1を満たす整数nを[x]で表す
(1)自然数mを与えたとき、[√k]=mを満たす自然数kの個数を求めよ
(2)自然数nを与えたとき、数列の和Σ[k=1→n^2-1] [√k]をnを用いて示せ
(3)数列の和Σ[k=1→2011] [k]を求めよ
④2つのサイコロA,Bがある。Aのサイコロの出た目をx,Bのサイコロの出た目をyとする。
(1)x+y=9,x>yとなる確率をそれぞれ求めよ
(2)x+y,xy,y/{x(x+1)}の期待値をそれぞれ求めよ
⑤xy平面上の単位円C1と条件-1<a<-1/2を満たす実数aに対し、点R(a,0)を考える。
C1上の点PにおけるC1の接線と、Rを通りこの直線と直交する直線との交点をQとする。
点PがC1を一周するときに、Qが描く曲線をC2とする。
C2上の点のx座標の最小値が-1より小さいことを示し、C2で囲まれる図形の面積を求めよ。