数学の質問その６

数学の質問その６
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#133 [名前なし]

∫∫∫ z dxdydz
積分範囲
x^2+y^2+z^2≦a^2, x^2+y^2≦a*x, a＞0

教えてください。
0かと思ったんですけど、答えは(5πa^4)/32です

:09/09/04 22:32 :PC :DzEOEesY

#134 [ピーマン２世]

>>133
条件式合ってる？
デカルト座標積分も
極座標積分も計算したら
(πａ^4)/32

になって、５の係数がでてこんのやけど…

:09/09/05 02:57 :W63SA :☆☆☆

#135 [ヨウ１ロー]

>>134
なんか高尚っすね笑

体積の微分で表面積になるのってなんでなんすかね？(´･ω･｀)

:09/09/05 03:01 :D905i :eOOtvpU6

#136 [名前なし]

>>134

:09/09/05 03:21 :PC :lIlis6nE

#137 [ピーマン２世]

>>135
表面積をｒで積分したのが体積だからだよ(´ω｀*)
円の面積を微分して円周の長さになるのと同じ。

:09/09/05 03:28 :W63SA :☆☆☆

#138 [名前なし]

>>134
条件式あってます。
解答は円柱座標に変換して積分しているんですけど、
第一象限での積分をして、その4倍にしているのですが納得いきません。

:09/09/05 03:29 :PC :lIlis6nE

#139 [ピーマン２世]

>>138
あー、円柱座標で積分か。確かにｚ軸周りに対称だから使えそうな気もする。
それよりも答えが合わなかったのが悔しい(-_-#)

答えは持ってるんよね？ドコが納得いかんの？

:09/09/05 03:37 :W63SA :☆☆☆

#140 [名前なし]

被積分関数がzなので、xy平面の上と下で符号が逆になるので0になるかと思ったんですけど…

:09/09/05 04:12 :PC :lIlis6nE

#141 [ピーマン２世]

>>140
この問題は"空間"積分。負の体積なんてものはないから負はないよ。

:09/09/05 04:23 :W63SA :☆☆☆

#142 [名前なし]

>>141
それはちょっと違うかも…

例えば、積分範囲を
x^2+y^2+z^2≦a^2， a＞0
とし、同様の積分
∫∫∫ z dxdydz
をするとき、ピーマンさん理論だと第一象限の4倍になります。
しかし、実際に極座標を用いて計算すると
z=r*cosθとおくと、(-π≦θ≦π)ですので、積分値は0となります。
体積積分とは“微小空間と被積分関数の積”の和じゃないんですか？被積分関数が負の値をとる領域では積分値が負になることもあるんじゃないんですか？
それとも、この考え方は間違っているのでしょうか？

長くなってすみません。

:09/09/05 05:06 :PC :lIlis6nE

#143 [ピーマン２世]

>>142
間違ってるよ。笑

座標の取り方をもっと良く見てごらん。

:09/09/05 07:49 :W63SA :☆☆☆

#144 [ピーマン２世]

>>144
もう少し直感的に言ってあげると、

体積Ｖの風船があるとして

"任意"に取ったz=0の平面(例えば自分の目線)より上に浮いてあった体積Ｖの風船
は、

自分の目線に近付くにつれしぼんでしまい(体積ゼロ)

地面に落ちる頃には体積-Ｖの風船になっていた。

↑キミはこんな変なことを言っている。つまり目線の位置(座標の取り方)によって体積が変わってしまう、実に奇妙なことを君は主張している。

:09/09/05 08:09 :W63SA :☆☆☆

#145 [つばさ]

>>132

ありがとうございます

:09/09/05 09:32 :N905imyu :9Sqgz/QM

#146 [名前なし]

>>144
すいません。その説明では納得いきません。
今度先生に聞いてみます。
ご迷惑おかけしました。

:09/09/05 15:35 :PC :lIlis6nE

#147 [ピーマン２世]

>>146
その前にΘの範囲が違うよ。笑
そこからしっかり！

:09/09/05 21:11 :W63SA :☆☆☆

#148 [名前なし]

>>147
おっと、(0≦θ≦π)でしたね