数学の質問その９

>>170
ちなみにこの命題は｢三角不等式｣という絶対不等式というやつのひとつ。関連に内積の話やｺｰｼｰ･ｼｭﾜﾙﾂの絶対不等式があるから調べてまとめることをオススメする

>>171
証明の書き方が少しまずいかと(´･ω･｀)
解釈が二通りでちゃう。
２行目が
｢ゆえに |a+b|^2≦(|a|+|b|)^2 であることを示せばよい。｣
にすれば問題ないかと

>>179
言いたいことは十分伝わるけど、グラフは可視化する道具だから｢定義｣や｢公理｣ではないから単独では完全な説得力はないから注意(´･ω･｀) まあ些細なことだけどね!大事だと思うけど

>>179
それは分かります(^q^)

>>180
私の考えはどうでしょうか…？

なんかうざいほどつっかかってすみません。
今数学に必死で色々不安で不安で(>_<)

悪い0≦|a+b|に疑問を抱いてるのかと思た

x≦yのときx^2≦y^2
ってことに0≦xなら証明はいらない

０≦|a+b|≦|a|+|b|である。
故に|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2を示せば良い

(|a|+|b|)^2 -|a+b|^2
=2(|a||b|-ab)≧0
よって示された
等号成立はab≧０

書き方が悪かったね。これでよろし？

って書いてあった(笑)テキトーにやりすぎたねスマソｗ

>>181
きみが言いたいことはさっきも言ったけどあってるよ!
証明すべき命題の結果をその命題を証明する過程では用いてはいけない。大原則だし、当たり前!
証明においてそれを破ってしまったらもちろん根底から破綻する０点
証明になってないから当たり前だよね

んで
>>171を君が｢証明過程で証明結果を使っていると判断｣した経緯はおそらく

｢０≦|a+b|≦|a|+|b|
故に|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2となる
(|a|+|b|)^2 -|a+b|^2
=2(|a||b|-ab)≧0
等号成立はab≧０｣
で
｢|a+b|≦|a|+|b|｣が証明結果で
｢０≦|a+b|≦|a|+|b|
"故に|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2となる"｣
と書いてあるから
｢|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2｣を証明に利用してると思ったんだよね？

>>187

おそらくは
>>170
は
｢|a+b|≦|a|+|b|｣が証明すべき命題だが
右辺と左辺は正であるから二乗しても不等号は保存される
よって
|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2
を証明すれば結果てきに証明すべき命題を証明できるよねってことを言いたかったんだと思うよ
だから
｢０≦|a+b|≦|a|+|b|
ゆえに
|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2
となることを示せばよい。
(|a|+|b|)^2 -|a+b|^2
=2(|a||b|-ab)≧0
等号成立はab≧０｣
と書いたらよかったと思う! 元の解答だったら減点される可能性ある

数学は言葉で論理だから他者に一義的に伝えなくてはならない。だから厳密性は大切! だから見落としがちだけどそういうところを意識するのはすごく重要だと思うよ。

気づいたら長くなる(笑) 読みづらくてすまぬ

>>187
ありがとうございます！
安心しました

ちなみに←私だったら

|a+b|≧0、|a|+|b|≧0であるから二乗した式を比べると(～ここで計算)ゆえに(右辺)^2-(左辺)^2≧0よってこの不等式は証明された。って書きます(笑)

>>184
|a+b|や|a|+|b|が0以上ってことを言うのは大事ですが、最初に0≦|a+b|≦|a|+|b|と言わずに、|a+b|と|a|+|b|は切り離さないと。この二つの関係性が証明されるまでこの不等式は使えないと思ったんです。