数学の質問５

数学の質問５
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#501 [たく]

>>499
平方完成しておわりじゃないかな？

:09/02/12 00:45 :SH905i :iWgaXMWw

#502 [たく]

>>499
簡単なのは、微分した式=0とおいてxを求めてそれを代入してy求めたらいいかな？

:09/02/12 00:56 :SH905i :iWgaXMWw

#503 [名前なし]

>>500
多分15通り

:09/02/12 02:06 :SH903i :sfz5fiv2

#504 [ごまちゃん]

質問お願いします。
この積分の答えが知りたいです(°□°;)

∫[0,2π]Ｆdθ

Ｆ=(1/cosθ)

:09/02/12 02:32 :W63SA :☆☆☆

#505 [あ]

SIN=T
COSdθ=dT
1/COS=COS/1-SIN^

1/1-T^=1/1-T ＋1/1＋T

:09/02/12 11:02 :W61H :kuG69pz.

#506 [名前なし]

直線y=-x+1とx軸,y軸で囲まれた図形の重心の位置はどこか？

下のは弟に聞かれたのですが、よくわからないのでついでに教えてください
x^2+y^2=2を満たす実数x,yが存在するとき、x^3+y^3のとる値の範囲は？

:09/02/12 13:56 :PC :☆☆☆

#507 [あ]

グラフを書くと三角形
三角形の重心の定義に従えば…

X=√2COS Y=√2SINとおく

X=√(2‐Y^)としても微分を習ってれば最大が出せるはず

:09/02/12 14:50 :W61H :kuG69pz.

#508 [ごまちゃん]

>>505
その方法だと積分範囲を考えた時に発散しませんか？

:09/02/12 14:58 :W63SA :☆☆☆

#509 [あ]

発散しますねー
広義積分てことで大丈夫だと思うんですが

:09/02/12 15:31 :W61H :kuG69pz.

#510 [あ]

いややっぱり

LIM T→1 ( LOG(1-T)(1＋T) -0 ＋LOG… - LOG…＋0-LOG)
とLIMでまとめたら0？
COSの正負で場合分けがあるので…

:09/02/12 15:41 :W61H :kuG69pz.

#511 [ごまちゃん]

なんか答えは０になるみたいで解き方が分かりにくいので、こちらの問題で解いていただけませんか(;_;)

∫[0,2π]Ｆdθ

Ｆ=1/(3+cosθ)

:09/02/12 15:49 :W63SA :☆☆☆

#512 [あ]

0～πの積分とわけて

まずt=tanθ/2

limM→無限∫［0～M］1/2＋t^ dt

次にt=tanθ

∫［0～π/2］1/√2 dt

てな感じで

:09/02/12 17:22 :W61H :kuG69pz.

#513 [名前なし]

>>507ありがとうございます。しかし、私にはまだよく理解できないのでもう少し詳しく教えてもらえませんか？

:09/02/12 17:27 :PC :☆☆☆

#514 [あ]

半径は一定なので極座標なら変数が角度のみになる

X^＋Y^=R^ 円

(RCOS)^＋(RSIN)^=R^ と変換できる。習ってなかったらゴメンナサイ

X^3＋Y^3=R^3(COS^3＋SIN^3)

COS SINを適当に変形したり微分使えば最大最小がでます

:09/02/12 17:52 :W61H :kuG69pz.

#515 [名前なし]

2次関数の問題で質問があるのですが

軸が直線x=2で点(4.-1)を通る2次関数を求めよ

ｙ=-ｘ~2+○ｘ-○ｘ

という問題の解き方がわからないんです

○に一桁の数字が入りますどなたかお分かりのかたがいらっしゃいましたら

ご回答お願いします

:09/02/12 18:33 :P705i :PdZJ1jTo

#516 [ごまちゃん]

>>512
すみません。書いてることがイマイチ分からないのですが(;_;)
被積分関数の1/2＋t^とはなんのことですか？
あとその方法でも発散しそうな気がするのですが、その方法で最終的に
>>511
の答えは何になりますか？

:09/02/12 18:53 :W63SA :☆☆☆

#517 [名前なし]

いきなりすいません

a＜0のとき、√(1+a)と
1+a/2の大小を比較せよ。

って問題なんですが
答えの最初の書き出しと
途中の式も含めて
わかる方いたら教えてください

お願いします

:09/02/12 19:41 :P905i :☆☆☆

#518 [名前なし]

>>517
まちがえました

a＞0のときです

:09/02/12 19:43 :P905i :☆☆☆

#519 [もひぷー]

(1＋a/2)^2-√(1＋a)^2
=1＋a＋a^2/4＋4-1-a
=a^2/4>0
a>0より
(1＋a/2)^2>0
√(1＋a)^2>0
なので(1＋a/2)>√(1＋a)

:09/02/12 20:03 :PC :lymX0hg2

#520 [もひぷー]

あ、最後らへん2行

(1＋a/2)^2>0
√(1＋a)^2>0

じゃなくて

(1＋a/2)>0
√(1＋a)>0
だった。

:09/02/12 20:06 :PC :lymX0hg2

#521 [名前なし]

>>519
ありがとうございました！ほんとに助かります

:09/02/12 20:06 :P905i :☆☆☆

#522 [ゆち]

またまたお願いします(><)!
直線(2k+1)x+(k+4)y-k+3=0は、実数kの値にかかわらず定点(？,？)を通る。
↑？の答えと解き方を教えて下さい。

:09/02/12 20:11 :SH906iTV :AIOS7Kwo

#523 [名前なし]

>>522
多分x=1 y=ｰ1
説明がうまくできない

:09/02/12 20:19 :SH903i :sfz5fiv2

#524 [名前なし]

>>523
これで分かるかな？

jpg 40KB
:09/02/12 20:25 :SH903i :sfz5fiv2

#525 [もひぷー]

何も説明ないと減点されるんじゃね。

:09/02/12 20:29 :PC :lymX0hg2

#526 [あ]

>>516

広義積分は高校までのリーマン積分で定義できなかったとこまで拡張するわけです
最初のCOSθだとθによっては無限に発散してしまう
そこでA～B区間で積分してからA B をlimを用いて極限を求めます

t=tanθ／2 とおいてdtに変換とCOSをtに直しました
大学からはこの変形は結構多いです。倍角とかでCOS SIN TANが求まります。

t 0→無限
θ0→π／2で変換して最後の式はπ／2√2

積分の部分だけ抜き取って計算したので係数かけて整理してπ～2πの範囲も同様にすれば求まるかと

:09/02/12 20:39 :W61H :kuG69pz.

#527 [

:)Ｐﾀﾝ]

>>501-502
ありがとうございます★
わかりました(^^)

>>500
なんで15通りになるかやり方を教えてもらえないでしょうか(;_;)？

:09/02/12 20:55 :P704i :3CAW2jp.

#528 [ゆち]

>>524
教えていただき、ありがとうございます

＊
写メの解説?わかりやすかったです(^^)

あと一問、
【x+y=3ならば、x^2+y^2はx=？のとき最小値？をとる】という問題も教えていただいてもよろしいでしょうか(><)?

:09/02/12 20:56 :SH906iTV :AIOS7Kwo

#529 [名前なし]

>>527
ＡとＢが一緒だから、ＡとＢが３人用になるときは残りの５人の内１人が３人部屋に入るので5Ｃ1=5
４人用になるときは５人中２人なので5Ｃ2=10
足して15通り

:09/02/12 21:31 :SH903i :sfz5fiv2

#530 [ゆうき]

>>528
【x+y=3ならば、x^2+y^2はx=？のとき最小値？をとる】

x+y=3よりy=-x+3
これをもう一方の式に代入すると、
　x^2+(-x+3)^2
=x^2+x^2-6x+9
=2x^2-6x+9
=2(x-3/2)^2+9/2

と変形でき、これはxの2次方程式だから
x=3/2のとき、最小値9/2をとる

:09/02/12 22:18 :N903i :CafUVgLo

#531 [名前なし]

>>506
上
M=∫[0,1] x|-x+1|dx=1/6,S=1/2より、図形の対照性を考えれば、重心は(1/3,1/3)
下
既出のパラメータ表示かx+y=tとおいて微分

:09/02/12 22:37 :SH01A :☆☆☆

#532 [ゆち]

>>530
ゆうきさん
教えていただきありがとうございます

☆
問題文に最小値ってあったので、相加相乗平均だ

って勝手に思い込んで意味わかんない解き方してました

皆さんは何でそんなにひらめき？が出来るのですか？！(意味わかんない日本語ですみません

)私、数学4年もしてるのに、頭が硬いと言いますか...応用力がないのです

人に聞いてみると、「そーゆーことかぁ

」ってすぐわかる事が、自力ではなかなかその考えが出てこなくて

今、試験真っ最中なのに本当にやばいです

:09/02/12 23:48 :SH906iTV :AIOS7Kwo

#533 [

:)Ｐﾀﾝ]

>>529
わかりやすくありがとうございました

助かりました

:09/02/13 00:30 :P704i :kQM2aS4A

#534 [名前なし]

一応、相加相乗でも解けないことはない…

x+y=3のとき、x^2+y^2の最小値を求めよ
x^2+y^2≧2xy(等号成立はx^2=y^2)
ここで
(x+y)^2=3^2
x^2+y^2+2xy=9
2xy≦9/2
ゆえに
x^2+y^2≧9/2
よって、x=y=3/2で最小値9/2

なんか酔ってきたな(д･｀●)

:09/02/13 00:40 :SH01A :☆☆☆

#535 [ゆうき]

>>532
おれの考えでも知りたいならMailしてもらえる

いまちょっと詳しいこと書けないからさ

:09/02/13 00:42 :N903i :4YXvfDLo

#536 [名前なし]

2つの変数があったらわかりにくい
与えられた条件を使えば変数が1つになりそう・・・
変数が1つなら単純な放物線の式になり
平方完成で頂点を求めればＯＫ

数学は今までの積み重ねだから
今までの知識も必要になるね

:09/02/13 01:39 :N905i :IzqhotMs

#537 [名前なし]

最小値最大値を聞かれたらまず平方完成でかかるのが１番無難かな？
数学はやっぱいろんな問題を解きまくって自分が出来る問題を増やすことが大切だと思う

:09/02/13 03:07 :SH903i :iYm5lf56

#538 [名前なし]

>>514
>>531
ありがとうございました。なんとか理解できました。

:09/02/13 08:12 :PC :☆☆☆

#539 [名前なし]

実数解って何ですか

:09/02/13 10:54 :P902iS :QPP7YODI

#540 [名前なし]

昨日はお世話になりました。今日もお力を貸してもらえないでしょうか？
①x→0のとき
{sin(5x)+asin(3x)+bsinx}/(sinx)^5
が収束するようにa,bを定め、極限値を求めよ
②aを実数とする
lim[x→0] {cosx・sin(ax)-acos(ax)・sinx}/(sinx)^3の極限を求めよ

以上、2題お願いします。

:09/02/13 15:26 :PC :☆☆☆

#541 [ゆち]

>>535
>>536
>>537
たくさんのアドバイスなどありがとうございます(^^)＊
やはり問題演習不足ですよね

今日からでも必死に問題解きまくります

:09/02/13 16:08 :SH906iTV :jzWLAxAc

#542 [名前なし]

534が無視されててワロタｗｗｗ

:09/02/13 16:10 :PC :fquJHEV.

#543 [名前なし]

以下の問題をお願いします。
空間に互いに異なる5点O,A,B,C,Dがある。OA↑=a↑,OB↑=b↑,OC↑=c↑,OD↑=dと
するとき、|a↑|=|b↑|=|c↑|=|d↑|=1,a↑・b↑=a↑・c↑=a↑・d↑を満たして
いる。また直線OAに垂直な平面を考え、その交点をTとし、OT=t(0≦t＜1)で定義
されている。このとき、4面体ABCDの体積の最大値を求めよ

どんな図かはイメージできるのですが、△BCDの面積を求めるとこがいまいちわからず題意の体積を表せません。どのようにやればできるのでしょうか？お願いします。

:09/02/13 16:15 :PC :fquJHEV.

#544 [ゆち]

>>542
本当だ(><);汗
ご指摘ありがとうございます＊
>>534
教えていただいたのに申し訳ないです(vv)↓
相加相乗平均の方も教えていただき、ありがとうございます＊

:09/02/13 23:43 :SH906iTV :jzWLAxAc

#545 [まゆ]

いきなりすみません

この2次不等式の答え教えてください

Ｘ^2＋5Ｘ-24＞0

4Ｘ^2＋4Ｘ＋1＞0

Ｘ^2-3Ｘ-10≦0

Ｘ^2＋Ｘ＋8＜0

得意な方お願いします

:09/02/14 01:37 :F905i :J3hHbPIs

#546 [名前なし]

(×＋3)(×-8)>0
=-8<×<3

じゃないっけ?

:09/02/14 02:16 :P903i :☆☆☆

#547 [名前なし]

間違えた

(×-3)(×+8)>0
=-３<×<８

だった(´｀)

:09/02/14 02:19 :P903i :☆☆☆

#548 [名前なし]

因数分解、または解の公式でｘの値を求めて
二次関数（放物線）のイメージから不等式を当てはまればＯＫ

:09/02/14 02:21 :N905i :gkVtshTs

#549 [まゆ]

解答ありがとうございます

数年ぶりの勉強で全く解き方忘れてしまってグラフのも思い出せないんですよね

ほかの問題も解けますか

:09/02/14 02:24 :F905i :J3hHbPIs

#550 [名前なし]

はＸ＜ｰ8,3＜Ｘでしょ？

:09/02/14 03:15 :SH903i :vVtkKlhA

#551 [名前なし]

はＸ=ｰ1/2以外

:09/02/14 03:17 :SH903i :vVtkKlhA

#552 [名前なし]

↑

の間違い

:09/02/14 03:18 :SH903i :vVtkKlhA

#553 [名前なし]

はｰ2≦Ｘ≦5

:09/02/14 03:19 :SH903i :vVtkKlhA

#554 [名前なし]

はない

:09/02/14 03:23 :SH903i :vVtkKlhA

#555 [名前なし]

複素解キター！

:09/02/14 03:40 :N905i :gkVtshTs

#556 [名前なし]

>>540age

:09/02/14 15:53 :PC :☆☆☆

#557 [ま]

正１２角形の１辺の長さを１とするとき、この正１２角形の面積は何になりますか？

教えてください！
よろしくお願いします！

:09/02/14 17:23 :SH904i :☆☆☆

#558 [ちぱ＊]

１＋４＋７……＋
（３K－２）＋（３K＋１）
は、なぜ

２分の１K（３K－1）＋
（３K＋１）

になるんですか？

:09/02/14 18:01 :SH904i :30XjRu3U

#559 [ちぱ＊]

上の２分の１って…
1/２って書かなきゃ
ダメでしたね；
すいません

:09/02/14 18:05 :SH904i :30XjRu3U

#560 [名前なし]

>>543今週中にお願いします。

:09/02/14 18:45 :PC :43TXoD46

#561 [あ]

>>556
分母→0
必要条件は分子→0
でAとBの関係式
代入して解くと…てのがセオリーかと

>>557
三角形12個考える
12角形から角度、二等辺とわかる
余弦定理とかで２辺の長さがでる

>>558
Σ(k=1～)k=K(K+1)/2
Σ1=K

だから0K+1+(4+…)
にして()の中を上の公式で解いて変形

:09/02/14 20:01 :W61H :3rhuO5Dw

#562 [名前なし]

>>557
3(2+√3)

:09/02/14 20:03 :PC :☆☆☆

#563 [名前なし]

実数解って何ですか？

:09/02/14 20:15 :P902iS :C7J4ZUpI

#564 [名前なし]

>>561
分子に倍角を用いて、分子=0でやればいいのでしょうか？

:09/02/14 20:20 :PC :☆☆☆

#565 [ま]

>>561
ありがとうございます｡
おかげで解けました！

>>562
同じ答えになりました！
ありがとうございます。

:09/02/14 20:31 :SH904i :☆☆☆

#566 [あ]

>>543とか
>>560とか
Aが頂点でBCDが底面でAから下ろした足がTでBCDに垂直
BCDが正三角形の時面積最大(Tの関数)証明必要

△BCD×T/3の最大値をだす
と思った

そうすると面積は
△BCD=△TBC＋△TBD＋△TDCが必要
2△TBC=TB TC SIN(CTBででてCTB=60度でとけるかも
ってこれのベクトルじゃないタイプの問題が東大にあったきがす。。。

:09/02/14 20:32 :W61H :3rhuO5Dw

#567 [ま]

>>557の者ですが再びすいません｡

正12角形に内接する円の面積はどのように求めるのでしょうか？

教えてください。

:09/02/14 20:37 :SH904i :☆☆☆

#568 [あ]

>>564
うん。
SIN→0
COS→1
だから一次のSINの係数とCOSのみの項の係数がそれぞれ0

三角関数の形だけの形は初めてかも(゜∀゜)

:09/02/14 20:39 :W61H :3rhuO5Dw

#569 [名前なし]

>>540
①
x=0でのテイラー展開すると
sinx=x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+…=x{1-(1/6)x^2+(1/120)x^4+…}-(*)
これより
(sinx)^5=x^5{1-(1/6)x^2+(1/120)x^4+…}^5=x^5+(x^6で割れる式[項])

ダメだ…疲れてきた

:09/02/14 20:40 :SH01A :☆☆☆

#570 [あ]

>>557

半径=二等辺三角形の高さ

外接のときは二等辺三角形の二等辺とこの長さ=半径

:09/02/14 20:41 :W61H :3rhuO5Dw

#571 [名前なし]

>>569の続き
したがって、分子についてもx^5までの項を計算すればよいので
(*)より
sin(5x)=5x-(5^3/6)x^3+(5^4/24)x^5+(x^6で割れる式[項])
sin(3x)=3x-(3^2/2)x^3+(3^4/40)x^5+(x^6で割れる式[項])
以上より、分子は
sin(5x)+asin(3x)+bsinx=(5+3a+b)x-{(5^3/6)+(3^2/2)a+(1/6)b}x^3+{(5^4/24)+(3^4/40)a+(1/120)b}x^5+(x^6で割れる式[項])
ゆえに、極限が存在する条件は
5+3a+b=0,(5^3/6)+(3^2/2)a+(1/6)b=0
また、極限値は
(5^4/24)+(3^4/40)a+(1/120)b
で表わされる
よって、計算すればa=-5,b=10で極限値は16

ロピタルの定理使ってもできます
5倍角とか3倍角とか僕にはやる気になれません

:09/02/14 21:10 :SH01A :☆☆☆

#572 [ま]

>>570
ありがとうございます。
解りましたっ！

:09/02/14 21:29 :SH904i :☆☆☆

#573 [名前なし]

>>540
②
x=0でのテイラー展開すると
sinx=x-(1/6)x^3+…
cosx=1-(1/2)x^2+…
これより
(sinx)^3=x^3{1-(1/6)x^2++…}^5=x^3+(x^4で割れる式[項])
cosx・sin(ax)-aocs(ax)・sinx={1-(1/2)x^2+…}{ax-(1/6)a^3x^3+…}-a{1-(1/2)a^2x^2+…}{x-(1/6)x^3+…}={(a^3-a)/3}x^3+(x^4で割れる式[項])
以上より
lim[x→0] {cosx・sin(ax)-acos(ax)・sinx}/(sinx)^3
=lim[x→0] {(a^3-a)/3}x^3+(x^4で割れる式[項])/x^3+(x^4で割れる式[項])
=(a^3-a)/3

2点を固定すれば、二等辺三角形のとき最大になるかとがわかるから、二等辺三角形の面積の最大値を考えればいいんじゃないのか？

:09/02/14 22:00 :SH01A :☆☆☆

#574 [名前なし]

すまね、結局は同じことか

:09/02/14 22:03 :SH01A :☆☆☆

#575 [名前なし]

>>543一応かなりテキトーだが…

条件より、3点B,C,Dは直線OAに垂直な平面上にあり、中心Tの円周上にある
V=(1/3)･△BCD･AT
まず、△BCDの最大値
BT=CT=DT=√(1-t^2)=rとして、CDの中点をMとし、TM=s(0≦s＜r)とおくと
△BCD=(1/2)･2√(r^2-s^2)･(r+s)
△BCDの面積の最大値(3√3/4)(1-t^2)
次に、四面体ABCDの体積
V=(1/3)･(3√3/4)(1-t^2)･(1+t)
四面体ABCDの体積の最大値8√3/27

:09/02/14 22:42 :SH01A :☆☆☆

#576 [もひぷー]

パソコンでも数式うつのはめんどいのにお疲れ様ですｗ

:09/02/14 23:05 :PC :wUdQOj8o

#577 [名前なし]

携帯でうつの慣れつつあるわ(´ω｀)
PDF対応してれば、PC使って楽なんだがねｗ

:09/02/14 23:52 :SH01A :☆☆☆

#578 [名前なし]

>>575ありがとうございます。だいたいわかったのですが、>中心Tの円周上にあることをどのように示せばいいのでしょうか？

:09/02/15 13:06 :PC :wc4amiHw

#579 [名前なし]

>>568
>>569
>>571
本当にありがとうございました

:09/02/15 16:22 :PC :☆☆☆

#580 [COGU☆]

この問題ですが、

重心、内心の考えを使わず三角形の面積から内接円の半径をだしたんですが

内接円の面積Ｔ1が合いません。Ｔ1=πｒ2/４

考えかた教えて下さい。

問題 [jpg/33KB]
:09/02/15 16:49 :P705i :8otmSUEg

#581 [COGU☆]

>580
ですが、再度検討した結果、余弦定理間違ってました。

すみません。

:09/02/15 16:57 :P705i :8otmSUEg

#582 [名前なし]

芝浦目指そうかなと思ってチャートをやろうと準備したんですが
順番的に
1→A→2→B→3→C
と順番通りか
1A→2B→3C
と並列してやっていくか
どれがいいのでしょう...
まさか
全てを並列してくのは…

:09/02/15 21:34 :W54SA :WktR7v2E

#583 [名前なし]

>>578
>>566ではだめだったかぬ？(・ω・`)高さは1-tの間違いだったけど・・・
あとoからの長さが全部１でOTに垂直な平面。。。で円周上とわかりそう

>>582チャートは１，２年の間にやっとくべきでは？3年からは薄めで何回もできるやつやるほうがいいと思う。

:09/02/15 22:34 :PC :yPc4qMFA

#584 [COGU☆]

今年、既に芝浦合格したものから言うと

数学ゎ基礎をしっかりすれば大丈夫だよ。全問正解するにゎちょっと応用できなきゃヤバイけど。

むしろ、英語で点落としたらやばいから簡単な問題やってミスをなくすべきかも。

滑り止めだったので対策しなかったけど

今年ゎ選択肢が消えた(物理)という傾向変更あったんで言っときます。

まぁ、普通にやればうかるよＷ

:09/02/16 00:41 :P705i :QvMOCBzY

#585 [名前なし]

>>583さん
アドバイス
ありがとうございますm(_ _)m
それでもチャート頑張ってみます

>>584さん
ありがとうございます
そうなんですか!
基礎ですね
物理はやばいです…

:09/02/16 00:46 :W54SA :GwXOaMhU

#586 [名前なし]

>>583見落としてました><今からやってみたいと思います。

円周上のは三平方ですねｗこんな簡単なのがわからないとはｗ

:09/02/16 14:51 :PC :☆☆☆

#587 [名前なし]

くだらない問題だと思いますがどなたかお教えいただければ幸いです

丸がついてる問題だけわからないんです

お願い致します

jpg 37KB
:09/02/17 17:21 :P705i :2PZI3.vw

#588 [名前なし]

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ワロスな問題やな